Эйкман закончил не слишком престижную частную школу и отказался от намерения поступить в Оксфорд, чтобы не напрягать скудные финансовые ресурсы отца. Его юность прошла в обстановке бедности, часто граничившей с нищетой. В 1941 году он получил по наследству от отца небольшой ежегодный доход. Во время войны Эйкман женился на Эдит Рэй Грегорсон, авторе нескольких детских книг, и совместными усилиями они открыли небольшое литературное агентство. В эти же годы мать Эйкмана погибла в Лондоне во время немецкой бомбежки.

Эйкман известен прежде всего восемью сборниками рассказов, которые относят обычно к жанру хоррора или к рассказам о привидениях (ghost stories), хотя сам Эйкман был против такой строгой жанровой классификации и предпочитал называть свои произведения «странными рассказами» (strange stories). И действительно, большинство из них не повествуют непосредственно о привидениях, а содержащиеся в них элементы хоррора носят, как правило, оригинальный и нетрадиционный характер.

Первой книгой Эйкмана был массивный (1000 страниц в рукописи) трактат «Панацея» («Panacea: A Synthesis»), оставшийся неопубликованным; в нем Эйкман предлагал свое решение всех основных проблем ХХ века. Рукопись книги хранится в архиве Эйкмана в университете штата Огайо, США.

В 1946 году совместно с Л.Т.К. Ролтом (также кстати писавшим мистические истории) и его супругой Анжелой Ролт Эйкман основал благотворительное общество Ассоциация Внутренних Водных путей (Inland Waterways Association), ставившую своей задачей сохранение и восстановление английских рек и каналов. Ассоциация добилась серьезных успехов на этом поприще, и Эйкман приобрел некоторую известность как общественный деятель. В 40-е годы он также сотрудничал с рядом изданий как кино- и театральный критик.

В 1951 году Эйкман совместно с Элизабет Джейн Хауард выпустил сборник «Сумрак нас зовет» («We Are for the Dark»; название — цитата из «Антония и Клеопатры»). Книга состояла из шести рассказов, авторство которых не было обозначено; только много лет спустя стало известно, что три принадлежали перу Эйкмана, и три — его соавтору. Сборник считается ныне важной вехой в развитии жанра, обозначившей переход от сдержанных, классических образцов викторианской и эдвардианской мистики к современному литературному хоррору с его ярко выраженными иррациональными и сюрреалистическими элементами. Книга открывалась рассказом Эйкмана «Поезда» («The Trains»), одним из самых известных и в некотором смысле программным для автора.

В конце 50-х годов Эйкман развелся с женой, которая впоследствии стала монахиней англиканского монастыря в Оксфорде. О последующей личной жизни самого Эйкмана информации практически нет. Хотя в 1966 году он издал автобиографическую книгу «Попытка спасения» («The Attempted Rescue»), она рассказывает больше о воспитании чувств и формировании характера, чем о событиях личной жизни, и повествование в ней доведено только до начала Второй мировой войны.

Второй сборник рассказов Эйкмана, «Темные записки» («Dark Entries») вышел в 1964 году. За ним последовали сборники «Сила тьмы» («Powers of Darkness», 1966), «Таинство» («Sub Rosa», 1968), «Холодная рука в моей руке» («Cold Hand in Mine», 1975), «Истории о любви и смерти» («Tales of Love and Death», 1977), «Вторжения» («Intrusions», 1980) и «Ночные голоса» («Night Voices», 1985). Вышедший в США сборник «Черти на полотне» («Painted Devils», 1979) содержал переработанные автором версии некоторых более ранних рассказов.

Рассказы Эйкмана, за единичными исключениями, никогда не были основаны на традиционных для жанра мифологиях (вампиры, чудовища, призраки умерших и т. д.) Вместо этого он черпал вдохновение в тех свойствах мира, которые считал основополагающими: зыбкость, непознаваемость, враждебность по отношению к человеку. Некоторые его рассказы построены вокруг какого-либо аспекта бытия (как, например, красота, сон, детство, старость, путешествие, и т. п.) таким образом, что минимальный, аллюзивный сюжет раскрывает незнакомые, аномальные и пугающие стороны затронутого явления. При этом автор никогда не предлагает читателю завершенную картину и логичное закругление сюжетных линий. Эйкман с легкостью опускает любые элементы повествования, будь то завязка, кульминация или развязка, нисколько не теряя при этом — и даже выигрывая — в эффектности и эмоциональном воздействии. Он блистательно использует типично английский прием недоговоренности (understatement) для того, чтобы поставить под сомнение рациональную организацию вселенной. Вместо того, чтобы играть на конкретных и привычных страхах, Эйкман виртуозно подводит читателя к внезапному ощущению незнакомства с миром и его повседневными объектами, ощущению того, что он называет «фундаментальной неправильностью окружающих нас вещей» («the fundamental wrongness of things around us»). И хотя некоторые критики упрекали Эйкмана в чрезмерной размытости и загадочности финалов, его тексты никогда не были произвольно туманными: за всеми недоговоренностями, всеми оборванными линиями стоят авторская воля и убежденность, которые не дают повествованию скатиться к бледным абстракциям.

Рассказы Эйкмана настолько своеобразны, что любые попытки подражать ему, как правило, были неудачными. Отчасти, возможно, это объясняется тем, что его смелый отказ от рациональной картины мира сочетается с крайне элегантным, ровным, классическим литературным стилем, характерным для уже ушедшей литературной эпохи. Из-за невозможности классификации его рассказов, а также из-за специфики короткого жанра, Эйкман добился при жизни известности лишь в относительно узком кругу читателей. Большинство его текстов остаются сегодня относительно труднодоступными, и его репутация является скорее культовой. Но при всей своей оригинальности, Эйкман не обособлен от развития литературы: его творчество укладывается в своего рода трансцендентную литературную традицию, в которой его предшественниками являются Уолтер де ла Мар и Оливер Онионс, а последователями (в той или иной степени) — такие авторы, как М. Джон Харрисон, Майкл Маршалл Смит, Джонатан Кэрролл.

Помимо рассказов, у Эйкмана есть также два изданных романа — «Поздние завтраки» («The Late Breakfasters», 1964) и «Макет» («The Model», 1987). После смерти писателя осталось большое количество неизданных произведений, в том числе роман «Go Back At Once» и 3 пьесы для театра. С 1964 по 1972 год Эйкман выпустил в издательстве Fontana восемь томов «The Fontana Book of Great Ghost Stories», которые в сумме образуют весьма представительную антологию жанра ghost story. Ко всем томам, кроме шестого, Эйкман написал предисловия, которые могут служить своего рода авторским комментарием к его собственному творчеству.

Роберт Эйкман скончался 26 февраля 1981 года от рака.